高等数学一，高等数学为什么叫高等数学

很多同学都没弄懂大学里所学的微积分是什么，高等数学是什么？有的甚至就把微积分等同于高等数学。那么今天笔者就来给大家做个科普吧。免得大家学了那么久的高等数学或者微积分，别人问起来，说都说不清楚，或者自己都稀里糊涂的。

我们先看一张图吧。如下

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首先说说什么是微积分吧。微积分顾名思义包括两大体系，即微分学和积分学。在大学课程里，微分学的主要板块包括极限、连续、导数、微分四大块，这也是我们学习的顺序。其中这四大块又可分为一元函数的内容和多元函数的内容。但是一般我们都以一元函数作为基础进行学习，然后再自然顺接到多元函数，因为一元函数的这些东西你搞明白了，多元函数其实就很简单了。所以在这里我要特别强调下，导数不是微分（为什么好多人都以为导数就是微分呢？），他俩虽然有联系，但其本质是千差万别的，具体可参看我的这篇文章：一元函数微分的本质。接下来说积分学，积分学的体系就清晰多了。包括不定积分、定积分这两大块。其中不定积分说白了就是求原函数的。而定积分又可分为一元函数的定积分，多元函数的定积分和广义积分、含参量积分。那么多元函数的定积分里又包括什么呢？我们主要学了二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分这四大类定积分。广义积分又可分为两部分，即积分上下限为无穷的广义积分和被积分函数在积分区域里有极限不存在的点的广义积分。含参量积分也主要包括两部分，即上下限包括含参量的积分和被积函数包括含参量的积分，说白了含参量积分其实本质上就是一个新的函数而已。好了以上就是我们所学的完整的微积分。所有的细枝末节的知识点都是在这个体系里打转的。

那么什么是高等数学呢？上面的微积分加上了空间向量、空间曲面、空间曲线这部分知识，然后再加上数项级数和函数项级数就是我们所学的高等数学了。因为积分学那里面我们要学习曲线积分和曲面积分，因此必须要加上简单的空间向量及空间曲线、曲面知识。而级数这部分知识（包括数项级数和函数项级数）是研究函数性质的另一种手段，因此也加在了高等数学里面。以上基本就是高等数学的体系了。

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下面我再来说一说专升本高数、大学里的高等数学、数学系的数学分析他们的异同点。其实说白了，就是按照学的难易程度和深入程度来做区分。首先按照难易程度和深入程度排个序：专升本高数<高等数学<数学分析。然后具体来说，专升本高数几乎没有证明，计算也只是最基础的计算，在学习内容上只保留最基础的东西。尤其是在积分学里面，删去了大多数内容，只学习到二重积分和曲线积分，其他一概不学；级数方面也只是简单学习了数项级数和幂级数。而高等数学是工科本科专属学科，其基本包含了上述所有内容，但是将含参量积分、广义积分以及级数这部分内容大大减弱，题目偏重较为复杂计算和简单证明。数学分析是数学系专属学科，可以说是加强版的高等数学，上面我所提到的东西全部都要学，而且还要学的很深入，且以较复杂的证明和计算为主。尤其是在广义积分、含参量积分、级数这三大块内容上，要比高等数学学的更加细致和深入。

每日更新高数重点难点（公众号：天下第零，有排过版的版本）

共有n->∞、x->∞、x->x0三种极限形式，"<=>"的左边是极限存在的写法，右边是具体的条件，可能大家觉得很难记，其实考试基本不会考一字不落的背下来，更多的是理解

讲解：三种极限的基本含义只有一个，我们可以将n和x看成自变量，当自变量到达一定范围时，也就是（n>N、|x|>X、0<|x-x0|<看图第三行）时函数值减极限值小于任意整数。

通俗的讲就是，函数值减去极限值趋近于无穷小时极限存在

保号性非常重要

实质就是，在n->∞、x->∞、x->x0三种情况下，都符合函数值和极值的正负号相同

确定极限值可得函数值符号，确定函数值可得极限值符号

由于很多字符不能识别的原因更多由文字描述

无论是数列还是函数我们都理解为函数，数列为自变量为n的函数，然后将极限和自变量趋于一个值的函数值区分开

①极限值a>b，可得xn>yn

②函数值xn>yn，或xn>=yn

极限均为a>=b

不等式性质可总结为一句话：

函数式相比较，一定有等号

极限值相比较，符号与值相同